%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{OutputFilter=Latex.dll} %TCIDATA{Version=4.50.0.2388} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Thursday, January 16, 2003 10:10:38} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=Lab Report.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %F=36,\PARA{038
\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} {\small Document 428\vspace{1pt}} \begin{center} \textbf{Una curiosa propriet\`{a} dalle parabole cubiche} \vspace{1pt}Enrico Pontorno \vspace{1pt} \end{center} \begin{quotation} \vspace{1pt}\textbf{Abstract} By means a sophisticated word processor for ``doings mathematics'' you study an odd property of polynomial curves of third degree. This is helpful to the use of computer laboratory in math teaching. \end{quotation} \begin{center} \rule{3in}{0.01in} \end{center} Sia data la cubica di equazione $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Dimostriamo innanzitutto che il punto d'inflessione della cubica \`{e} centro di simmetria per la stessa. Dall'analisi delle derivate \[ f^{\prime }(x)=\allowbreak 3ax^{2}+2bx+c,\quad f^{\prime \prime }(x)=\allowbreak 6ax+2b,\quad f^{\prime \prime \prime }(x)=\allowbreak 6a \] si deduce che il punto di coordinate \[ F\left( -\frac{1}{3}\frac{b}{a},\quad \frac{2}{27a^{2}}b^{3}-\frac{1}{3}c% \frac{b}{a}+d\right) \] \`{e} l'unico punto di flesso della curva. La traslazione che porta l'origine degli assi in F ha quindi equazioni \[ \left\{ \begin{array}{l} x=X-\frac{1}{3}\frac{b}{a} \\ y=Y+\frac{2}{27a^{2}}b^{3}-\frac{1}{3}c\frac{b}{a}+d% \end{array} \right. \] per cui l'equazione della curva diventa \[ Y+\frac{2}{27a^{2}}b^{3}-\frac{1}{3}c\frac{b}{a}+d=\allowbreak aX^{3}-\frac{1% }{3}X\frac{b^{2}}{a}+\frac{2}{27a^{2}}b^{3}+cX-\frac{1}{3}c\frac{b}{a}+d \] e, semplificando, \[ Y=aX^{3}-\left( \frac{1}{3}\frac{b^{2}}{a}-c\right) X \] La funzione dotata della precedente equazione \`{e} evidentemente dispari. Nel seguito, faremo riferimento ad una curva di equazione della forma \[ y=f(x)=ax^{3}+bx. \] Ci proponiamo di dimostrare che: La tangente in ogni punto P di una parabola cubica incontra ulteriormente la parabola stessa in un altro punto Q. Condotta ancora la tangente in Q, essa delimita con la curva una porzione di piano \textbf{B} la cui area \`{e} pari a 16 volte l'area della superficie \textbf{A} delimitata dalla curva e dalla tangente in P (Fig. 1). \vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{4.5152in}{2.8539in}{0pt}{\Qcb{Figura 1}}{}{% pontfig1.png}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.5152in;height 2.8539in;depth 0pt;original-width 481.8125pt;original-height 239.375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'pontfig1.png';file-properties "XNPEU";}} Sia $P(x_{0},\,ax_{0}^{3}+bx_{0})$ un punto della curva. Essendo $f^{\prime }(x)=\allowbreak 3ax^{2}+b$ la tangente in P sar\`{a} \[ y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}), \] cio\`{e} \[ y=(3ax_{0}^{2}+b)x-2ax_{0}^{3} \] Dal sistema tra questa e l'equazione della curva si ottiene \[ ax^{3}-3ax_{0}^{2}x+2ax_{0}^{3}=0 \] le cui soluzioni sono $\left\{ x=-2x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{ x=x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{ x=x_{0}\right\} $; pertanto l'ulteriore intersezione sar\`{a} il punto $Q(-2x_{0},-8ax_{0}^{3}-2bx_{0})$. In $Q$ la tangente avr\`{a} equazione \[ y-f(-2x_{0})=f^{\prime }(-2x_{0})(x+2x_{0}), \] cio\`{e} \[ y=(12ax_{0}^{2}+b)x+16ax_{0}^{3} \] Dal sistema tra questa e l'equazione della curva si ottiene \[ ax^{3}-12ax_{0}^{2}x-16ax_{0}^{3}=0, \] le cui soluzioni sono $\left\{ x=4x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{ x=-2x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{ x=-2x_{0}\right\} $; pertanto l'ulteriore intersezione sar\`{a} il punto \[ R(4x_{0},64ax_{0}^{3}+4bx_{0}). \] L'area compresa tra la tangente PQ e la curva \`{e} data dall'integrale definito \[ \left| \int_{-2x_{0}}^{x_{0}}\left( 3ax_{0}^{2}x+bx-2ax_{0}^{3}-f(x)\right) dx\right| =\allowbreak \frac{27}{4}\left| ax_{0}^{4}\right| \] e, analogamente, l'area compresa tra la curva e la tangente QR sar\`{a} \[ \left| \int_{-2x_{0}}^{4x_{0}}\left( 12ax_{0}^{2}x+16ax_{0}^{3}+bx-f(x)\right) dx\right| =\allowbreak 108\left| ax_{0}^{4}\right| \] Pertanto il loro rapporto sar\`{a} \[ \left| \frac{\int_{-2x_{0}}^{4x_{0}}\left( 12ax_{0}^{2}x+16ax_{0}^{3}+bx-f(x)\right) dx}{\int_{-2x_{0}}^{x_{0}}\left( (3ax_{0}^{2}+b)x-2ax_{0}^{3}-f(x)\right) dx}\right| =\allowbreak 16 \] che \`{e} quanto volevamo dimostrare. Si perviene allo stesso risultato in maniera pi\`{u} celere considerando che l'area $S$ in questione, per una data curva, \`{e} funzione dell'unica variabile $x_{0}$, ascissa del punto di tangenza. Detta \[ S_{A}=S(x_{0})=Kx_{0}^{4} \] l'area della superficie A in figura, sar\`{a} \[ S_{B}=S(2x_{0})=K(2x_{0})^{4}=\allowbreak 16Kx_{0}^{4}=16S_{A}. \] In margine alle suddette considerazioni vogliamo provare per altra via la relazione tra l'ascissa del punto P di tangenza e quella dell'ulteriore punto d'intersezione Q: \[ x_{Q}=-2x_{P}. \] Le ascisse dei punti d'intersezione di una qualsiasi retta di equazione $% y=mx+q$ con la curva $f(x)=ax^{3}+bx$ sono le soluzioni dell'equazione \[ ax^{3}+bx-mx-q=0. \] Se vogliamo che una intersezione rappresenti il punto di tangenza l'equazione deve avere una radice di molteplicit\`{a} 2 \[ ax^{3}+(b-m)x-q=a(x-x_{P})^{2}(x-x_{Q})= \] \[ =ax^{3}+\left( -2ax_{P}-ax_{Q}\right) x^{2}+\left( ax_{P}^{2}+2ax_{P}x_{Q}\right) x-\allowbreak ax_{P}^{2}x_{Q} \] Per il principio d'identit\`{a} dei polinomi si avr\`{a} \[ \left\{ \begin{array}{l} -2ax_{P}-ax_{Q}=0 \\ b-m=ax_{P}^{2}+2ax_{P}x_{Q} \\ q=ax_{P}^{2}x_{Q}% \end{array} \right. \] dalla prima delle quali si ricava \[ x_{Q}=-2x_{P} \] e, successivamente, $m=b+3ax_{P}^{2}$ e $q=-2ax_{P}^{3}$, relazioni gi\`{a} trovate in precedenza.\bigskip Bibliografia \begin{enumerate} \item L. C. Larson, \textit{Problem Solving Through Problems}, New York 1983.\bigskip \end{enumerate} Questo articolo \`{e} stato composto, compresi calcoli e figure, con \textbf{% Scientific WorkPlace} versione 2.5 (\textbf{SWP}). Si tratta di un elaboratore testi orientato alla produzione di testi o articoli di carattere scientifico, dove abbondano caratteri, simboli, formule tipiche del lessico matematico. Una volta scritto, il documento viene salvato in formato TEX, pi% \`{u} precisamente nel ''dialetto'' LATEX, che \`{e} diventato ormai lo standard nella produzione di pubblicazioni scientifiche. Per i calcoli e i grafici \textbf{SWP} si avvale del ''motore'' MAPLE V versione 3.0 o di \textit{Mathematica} versione 2.x, nel senso che, tramite links, \`{e} possibile richiamare le librerie di uno o l'altro dei noti programmi di calcolo simbolico. L'uso da parte dell'utente, \`{e} assolutamente semplice; se, ad esempio, si vuole il grafico di una funzione in coordinate cartesiane si scrive l'espressione della stessa in modalit\`{a} matematica, si pone il cursore a destra dell'espressione e dalla voce \textbf{Maple} del men\`{u} si sceglie l'opzione \textbf{Plot 2D}$\rightarrow $Rectangular e il grafico della funzione compare sulla pagina; successivamente \`{e} possibile modificarne le caratteristiche, aggiungervi grafici di altre funzioni e altro. Con la stessa facilit\`{a} si possono risolvere equazioni, sistemi di equazioni o calcolare integrali e derivate, per rimanere nell'ambito della matematica ''scolastica''. Con un comando di tipo toggle si passa dal modo testo (Control-T) al modo matematico (Control-M); i caratteri scritti in quest'ultima modalit\`{a} compaiono a video in rosso. Utile risulta la possibilit\`{a} di definire funzioni, cosicch\`{e} \`{e} possibile, ad esempio, fare riferimento alle derivate di una funzione $f(x)$ utilizzando gli usuali simboli $f^{\prime }(x),\;f^{\prime \prime }(x),\;f^{\prime \prime \prime }(x)...$, che vengono correttamente riconosciuti e calcolati da \textbf{SWP}. All'apertura di un nuovo documento \`{e} possibile scegliere tra una variet% \`{a} di ''stili'' predefiniti che riguardano i criteri d'impaginazione, la suddivisione in paragrafi ecc...\.{E} anche possibile, tramite un programma di supporto (Style Editor) costruire degli stili personalizzati. Il programma \`{e} dotato di una serie completa di ''toolsbar'' contenenti simboli matematici, alfabeto latino e greco (maiuscolo e minuscolo), frecce, simboli di uso comune, tali da soddisfare qualunque esigenza tipografica. (Fig. 2) \vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{6.6945in}{4.5524in}{0pt}{\Qcb{Figura 2}}{}{% pontsch.png}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 6.6945in;height 4.5524in;depth 0pt;original-width 481.8125pt;original-height 270.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'pontsch.png';file-properties "XNPEU";}} Il programma \`{e} distribuito in un CD contenente le versioni per Windows 3.11, Windows 95 e Windows NT. \.{E} stata da poco rilasciata la versione per MAC. Installando anche la versione ipertestuale dei manuali, il programma occupa circa 90 Mb; per un uso ottimale richiede, come si pu\`{o} facilmente immaginare, macchine dotate di generose dotazioni di RAM e spazio libero su disco, ma \`{e} stato usato anche su un 386 con 8 Mb di RAM in maniera del tutto soddisfacente. La difficolt\`{a} di tradurre il LATEX in un ambiente ''amichevole'' si evidenzia in una certa rigidit\`{a} nell'uso degli stili, ma l'uso ''normale'' \`{e} sicuramente piacevole. In conclusione un programma impegnativo (anche dal punto di vista del prezzo) ma di sicuro valore didattico, sia dal punto di vista della produzione di articoli, dispense o addirittura manuali, ma anche nella stesura pi\`{u} quotidiana di compiti in classe e relative soluzioni, e comunque in tutte quelle situazioni in cui l'insegnante vuole mettere per iscritto, e magari in bella forma, quanto ha da dire. Da non sottovalutare la possibilit\`{a} di utilizzare \textbf{SWP} come ''lavagna'' per preparare lezioni al computer, grazie alle funzioni \textbf{External Program Call} e \textbf{Hypertext Link}. La manualistica, ovviamente (purtroppo!) in inglese, appare piuttosto stringata. Questa breve presentazione di \textbf{SWP} non esaurisce certamente tutte le caratteristiche del programma, assai vaste e articolate. Esso comprende anche un database per bibliografie, un previewer per file DVI e altre sofisticate utility. Mi sono limitato a descrivere le possibilit\`{a} di utilizzo in ambiente scolastico, cos\`{\i} come io stesso le ho sperimentate. \begin{itemize} \item \textbf{Scientific WorkPlace} \`{e} un marchio della TCI Software Research, Las Cruces, New Mexico, distribuito in Italia da Teoresi, Torino \item \textbf{MAPLE V} \`{e} un marchio della Waterloo Maple Software, distribuito in Italia da Teoresi, Torino. \item \textit{Mathematica} \`{e} un marchio della Wolfram Research Inc., distribuito in Italia da SciSoft, Torino. \item \textbf{Windows} \`{e} un marchio della Microsoft Corporation. \end{itemize} \vspace{1pt} Enrico Pontorno Liceo Ginnasio Statale ''C.\ MARCHESI'' ODERZO\ (TV), tel. e fax 0422/712317 pontorno@brezza.iuav.unive.it \end{document}